Badania operacyjne ćwiczenia - ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zadanie do samodzielnego rozwiązania
Zakład produkuje dwa wyroby, które są wytwarzane na 3 maszynach. Czas pracy tych maszyn jest
ograniczony i wynosi dla maszyny:
m
1
- 18 000 godz.,
m
2
- 40 000 godz.,
m
3
- 24 000 godz.
Zużycie czasu pracy maszyn, na produkcję jednostki każdego z wyrobów jest następujący:
w
1
w
2
m
1
3 1
m
2
2 4
m
3
3 2
Zysk ze sprzedaży wyrobu 1. wynosi 6 zł, a wyrobu 2. - 4 zł.
Zaplanować optymalną strukturę produkcji tak z punktu widzenia maksymalnego zysku.
Czy rozwiązanie ulegnie zmianie gdy:
1) zyski jednostkowe ze sprzedaży obydwu wyrobów wzrosną o 1 zł ;
2) dodatkowo uwzględni się warunek, że wyrobu 2 należy produkować 1,5 razy więcej niż
pierwszego (w
2
=
1,5 w
1
).
Rozwiązaniem są punkty na prostej.
Ustalamy warunki:
Warunki: Współrzędne na osiach w
1
i w
2
(1)
3 w
1
+ 1w
2
<
=
18 000
6 000
18 000
(2)
2 w
1
+ 4w
2
<
=
40 000
20 000
10 000
(3)
3 w
1
+ 2w
2
<
=
24 000
8 000
12 000
(4)
w
2
=
1,5 w
1
-
Wyznaczamy funkcje celu:
F = 6w
1
+ 4w
2
—> max
F’ = 7w
1
+ 5w
2
—> max
Rozwiązanie dla funkcji celu F = 6w
1
+ 4w
2
—> max
Rysujemy wykres dla ustalonych warunków i wyznaczonych w nich współrzędnych.
Uwzględniając 3 pierwsze warunki wymienione wyżej wyznaczamy obszar danych spełniających
stawiane wymagania.
Następnie wyznaczamy funkcję liniową wynikającą ze wspólnej wielokrotności dowolnej cyfry
z parametrów funkcji celu, zakładając np. jako max wspólną wielokrotność czynników w
1
i w
2
., np.
6 * 4 * 1 000 = 24 000.
Współrzędne na osi odciętych
w
1
- 4.000 (24.000 : 6 = 4.000), a na osi rzędnych
w
2
- 6.000
(24.000 : 4 = 6.000); lub dla
6 * 4 * 2.000 = 48.000
w
1
- 8.000 (48.000 : 6 = 8.000), a na osi rzędnych
w
2
- 12.000 (48.000 : 4 = 12.000)
Ważny jest tutaj kąt pochylenia prostej w stosunku do osi odciętych
w
1
.
Przesuwamy równolegle
prostą w kierunku najdalej oddalonego punktu przecięcia warunków wyznaczających obszar danych
spełniających stawiane wymagania. Jest to punkt A, optymalny dla którego należy wyliczyć
współrzędne. W tym przypadku punkt ten występuje na przecięciu prostych wynikających z
warunków (2) i (3).
Współrzędne wyliczamy z układu równań:
2 w
1
+ 4w
2
= 40 000 / :2
3 w
1
+ 2w
2
= 24 000
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
w
1
= 20 000 - 2w
2
3(20 000 - 2w
2
) +
2w
2
= 24 000
60.000 - 6w
2
+ 2w
2
= 24.000
36.000 = 4w
2
w
2
= 9.000
w
1
= 20.000 - 2w
2
= 20.000 - 18.000 = 2.000
Wyliczamy funkcję celu:
F = 6* 2.000 + 4* 9.000 = 12.000 + 36.000 = 48.000
Max zysk ze sprzedaży został wyznaczony powyżej.
Rozważyć należy również punkt A’, ponieważ funkcja liniowa wynikająca ze wspólnej
wielokrotności dowolnej cyfry z parametrów funkcji celu wyznacza linię prostą równoległą do linii
prostej wyznaczonej warunkiem (3).
Wobec tego występują dwa punkty przecięcia A i A’, przy czym Punkt A’ jest wyznaczony przez
przecięcie linii prostych wyznaczonych przez warunek (1) i warunek (2), w więc dla punktu A’
współrzędne są następujące:
3 w
1
+ 1w
2
= 18 000
3 w
1
+ 2w
2
= 24 000
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
w
2
= 18.000 - 3 w
1
3w
1
+ 2(18.000 - 3 w
1
) = 24.000
3w
1
+ 36.000 - 6 w
1
= 24.000
3w
1
= 12.000
w
1
= 4.000
w
2
= 18.000 - 3* 4.000 = 6.000
w
2
= 6.000
________________________________________________________________________________
Rozpatrujemy kolejną funkcję celu.
F’ = 7w
1
+ 5w
2
—> max
Należy ponownie narysować wykres z osią odciętych
w
1
i osią rzędnych
w
2
. Na wykresie należy
narysować obraz funkcji liniowej wynikającej z funkcji celu F’, zakładając np. jako max wspólną
wielokrotność czynników w
1
i w
2
., np. 7 * 5 * 2.000 = 70.000. Współrzędne dla max 70.000
wyniosą odpowiednio w
1
= 10.000 (70.000 : 7 = 10.000), w
2
=
14.000 (70.000 : 5 = 14.000).
Tak jak poprzednio ważny jest kąt pochylenia tej prostej. Prostą należy przesuwać równolegle
w kierunku punktów wyznaczonych przez przecięcie prostych określonych przez funkcje warunków
i wybrać najdalej odsunięty punkt. Jest to ten sam punkt A określony przy funkcji celu F. Jest to
punkt przecięcia prostych wynikających z warunku (2) i warunku (3). Punkt A’ nie spełnia
warunku.
Wyliczamy funkcję celu:
F’ = 7* 2.000 + 5* 9.000 = 14.000 + 45.000 = 59.000
Optymalna struktura produkcji nie ulegnie zmianie przy założeniach funkcji celu F i F’, choć
wysokość zysków jest różna.
Uwaga! Co z warunkiem (4) ? Nie wiem jak do tego podejść.
Może nst. Rozwiązanie:
Przy uwzględnieniu dodatkowego warunku, że wyrobu 2 należy produkować 1,5 razy więcej niż
pierwszego (w
2
=
1,5 w
1
) można rozpatrzeć warunek (3) i warunek (4).
3 w
1
+ 2w
2
= 24 000
w
2
=
1,5 w
1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
3w
1
+ 2*1,5 w
1
= 24.000
6w
1
= 24.000
w
1
= 4.000
w
2
=
1,5 *4.000
w
2
Przy uwzględnieniu warunku (4) współrzędne odpowiadają punktowi A’.
= 6.000
[ Pobierz całość w formacie PDF ]